DL-ordre

Soient et deux fonctions admettant les développements limités suivants en 0 :

= + $val29 , = + $val30

A quel ordre peut-on calculer le développement limité de en 0 ? Répondre non si cela n'est pas possible.


DL-ordre+

Soient et deux fonctions admettant les développements limités suivants en 0 :

= $val35 + $val29 , = $val36 + $val30

A quel ordre peut-on calculer le développement limité de en 0 ?


DL-ordrex

Soient et deux fonctions admettant les développements limités suivants en 0 :

= $val35 + $val29 , = $val36 + $val30

A quel ordre peut-on calculer le développement limité de en 0 ? Répondre non si cela n'est pas possible.


DL-ordre-compos0

Soient et deux fonctions admettant les développements limités suivants respectivement en $val27 et en $val26 :

Peut-on calculer un développement limité de en $val34 ?

DL-ordre-compos*

Soient et deux fonctions admettant les développements limités suivants respectivement en $val27 et en $val26 :

A quel ordre peut-on calculer le développement limité de en $val34 ?

Répondre -1 si les renseignements fournis ne sont pas suffisants pour pouvoir calculer un développement limité en $val34.


Dérivée I

Nous avons une fonction dérivable d'ordre 3 et ayant un développement limité

= $val14

au voisinage de $val10. Que vaut la dérivée d'ordre $val11 de au point $val10 ?


Dérivée II

Soit $val6 une fonction sur $m_RR, et supposons qu'on peut écrire

= $val18 .

On peut en déduire que $val6 est dérivable en un certain point . Donner la valeur de et celle de $val7( ) .


Développements limités et notations 1

Soit $m_f une fonction réelle définie au voisinage de 0 qui s'écrit

dans ce voisinage. De quel ordre est le développement limité de $m_f au voisinage de l'origine ?


Développements limités et notations II

Soit une fonction réelle définie au voisinage de 0 qui s'écrit, dans ce voisinage,

.

L'assertion suivante est-elle vraie ?


Estimation d'erreur I

Soit une fonction dérivable à l'ordre 4 dans l'intervalle [$val11,$val12] et admettant le développement limité

=$val17

au voisinage de 0. On suppose que sur [$val11,$val12]. Calculer l'erreur maximale obtenue en remplaçant par $val15 sur [$val11,$val12].


Estimation d'erreur II

Soit une fonction dérivable à l'ordre $val19 dans l'intervalle [$val14,$val15] et admettant le développement limité suivant

= $val26

au voisinage de $val11. On suppose que sur cet intervalle, quelle est l'erreur maximale faite en remplaçant par

$val24

sur [$val14,$val15] ?


Estimation d'erreur III

Soit une fonction dérivable à l'ordre 4 sur $m_RR et admettant le développement limité suivant

= $val15

au voisinage de 0. On suppose que . On veut remplacer par $val13 sur un intervalle sans introduire une erreur supérieure à $val11. Quelle est la valeur maximale de possible ?


Tableau 2

Soit $val6 une fonction réelle, dérivable d'ordre 3 sur $m_RR, avec le tableau de dérivées suivant :

$val7$val6($val7)$val6'($val7)$val6''($val7) $val6(3)($val7)
-$val21 $val9$val10 $val11$val12
0 $val13$val14 $val15$val16
$val21 $val17$val18 $val19$val20

Quelle est la partie principale du développement limité de $val6 d'ordre 2 au voisinage de $val23, c'est-à-dire le polynôme P(x) dans le développement limité

$val6(x) = P(x) + o(($val24)2) ?

Tableau 3

Soit $val6 une fonction réelle, dérivable d'ordre 3 sur $m_RR, avec le tableau de dérivées suivant :

$val7$val6($val7)$val6'($val7)$val6''($val7) $val6(3)($val7)
-$val21 $val9$val10 $val11$val12
0 $val13$val14 $val15$val16
$val21 $val17$val18 $val19$val20

Quelle est la partie principale du développement limité de $val6 d'ordre 3 au voisinage de $val23, c'est-à-dire le polynôme P(x) dans le développement limité

$val6(x) = P(x) + o(($val24)3) ?

Tangente

La fonction $val6 admet au voisinage de $val15 le développement limité

$val6(x) = $val22

Soit $val8 la tangente au graphe $val7 de $val6 au point ($val15, $val6($val15)). Quelle est la position du graphe $val7 de $val6 par rapport à $val8 au voisinage de $val15?

  1. $val7 est au-dessous de $val8.
  2. $val7 est au-dessus de $val8.
  3. $val7 est au-dessous de $val8 à gauche (quand  < $val15), et au-dessus de $val8 à droite (quand  > $val15).
  4. $val7 est au-dessus de $val8 à gauche, et au-dessous de $val8 à droite.

Formule de Taylor 2

Soit une fonction sur à valeurs réelles. Ecrire la formule de Taylor-$val9 à l'ordre 2 au point (si besoin, est un point convenable tel que , est une fonction tendant vers 0 lorsque tend vers $val7):
Pour donner la réponse, ne pas faire preuve d'originalité et écrire les termes dans l'ordre standard ! En effet la formule de Taylor-$val9 à l'ordre 2 au point s'écrit
$val11
avec une fonction tendant vers 0 lorsque tend vers $val7 avec un réel entre et .

Soit la fonction affine définie par

.
On suppose que
$val15
pour tout vérifiant .

Avec ces renseignements, la formule de Taylor écrite est-elle utilisable pour donner une majoration de pour ? Si oui, donner la meilleure majoration possible à partir des données. Sinon, répondre non


Valeur

Soit $val6 une fonction définie sur $m_RR et supposons qu'on peut écrire

= $val16 .

On peut en déduire la valeur de $val6 en un certain point . Donnez la valeur de   et celle de  .


Valeur II

Soit $val6 une fonction réelle, et supposons qu'on peut écrire

$val6(x) = $val16 .

On peut en déduire que $val6 est dérivable en un certain point . Donnez la valeur de  , et celle de  .